Question

【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A，B的坐標(biāo)分別為，，P是坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，且直線，的斜率之積等于.設(shè)點P的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）某同學(xué)對軌跡C的性質(zhì)進(jìn)行探究后發(fā)現(xiàn)：若過點且傾斜角不為0的直線與軌跡C相交于M，N兩點，則直線，的交點Q在一條定直線上.此結(jié)論是否正確？若正確，請給予證明，并求出定直線方程；若不正確，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）正確，證明見解析，直線.

【解析】

（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，利用直接法，列方程即可求解.

（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為：，將直線與橢圓方程聯(lián)立，整理可得，利用韋達(dá)定理可得，，直線的方程與直線的方程，直線，的交點的坐標(biāo)滿足：，整理可得，即證.

（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，

由，得，即.

故軌跡C的方程為：

（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為：，

由，消去x并整理得

其中，.

設(shè)，，則，.

因直線的傾斜角不為0，故，不等于（，不為0），

從而可設(shè)直線的方程為①，

直線的方程為②，

所以，直線，的交點的坐標(biāo)滿足：

而

，

因此，，即點Q在直線上.

所以，探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的.