Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù) 都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．（*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．……………………………2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．…………………5分

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………………………………6分

（2）當(dāng)時(shí)，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．………………………………………10分

（3）證明（法一）：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，

即．………………………………………………………11分

令，得，

化簡(jiǎn)得，………………………………13分

．………………………14分

（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，

根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．

令，得，即．

因此，時(shí)不等式成立．………………………………11分

（另【解析】
，，，即．）

假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，

則當(dāng)時(shí),，

要證時(shí)命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得

．

時(shí)命題也成立．………………………………………13分

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對(duì)一切成立． …14分

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí)．