Question

3．過曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁作曲線C₂：x²+y²=a²的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長F₁M交曲線C₃：y²=2px（p＞0）于點(diǎn)N，其中曲線C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若|MF₁|=|MN|，則曲線C₁的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），利用O為F₁F₂的中點(diǎn)，M為F₁N的中點(diǎn)，可得OM為△NF₁F₂的中位線，從而可求|NF₁|，再設(shè)N（x，y） 過點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F₂，則F₂的坐標(biāo)為（c，0）
因?yàn)榍�線C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以y²=4cx
因?yàn)镺為F₁F₂的中點(diǎn)，M為F₁N的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△NF₁F₂的中位線，
所以O(shè)M∥NF₂，
因?yàn)閨OM|=a，所以|NF₂|=2a
又NF₂⊥NF₁，|FF₂|=2c 所以|NF₁|=2b
設(shè)N（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x=2a-c
過點(diǎn)F₁作x軸的垂線，點(diǎn)N到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．