Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若a=2

3

，A=

π

4

，求△ABC的面積S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由已知及正弦定理求得cosB=

1

2

，可得 B的值．
（Ⅱ）由條件利用正弦定理求得b的值，由三角形內(nèi)角和公式求得C，根據(jù)△ABC的面積為S=

1

2

ab•sinC，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，由已知及正弦定理得：2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）若a=2

3

，A=

π

4

，則C=π-A-B=

5π

12

，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，即

2 3

2 2

=

b

3 2

，求得b=3

2

．
又sinC=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

•

3

2

+

2

2

•

1

2

=

6 + 2

4

，
故△ABC的面積S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×2

3

×3

2

×

6 + 2

4

=

9+3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．