Question

【題目】如果一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)都是自然數(shù)，則稱為“自然多項(xiàng)式”.對(duì)正整數(shù)，用表示滿足的不同自然多項(xiàng)式的個(gè)數(shù).證明：.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先證明：對(duì)任何正整數(shù)，有. ①

事實(shí)上，對(duì)任何滿足的自然多項(xiàng)式，因為奇數(shù)，所以，的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù).令.則是自然多項(xiàng)式，且.

反之，對(duì)任何滿足的自然多項(xiàng)式，令.則是自然多項(xiàng)式，且.

所以，.

對(duì)任何滿足的自然多項(xiàng)式，若，令，則是自然多項(xiàng)式，且，這樣的多項(xiàng)式有個(gè)；若

，令，則是自然多項(xiàng)式，且，故，這樣的多項(xiàng)式有個(gè).

所以，.

式①成立.

其次證明：對(duì)任何正整數(shù)，有. ②

由式①可知，不減，且對(duì)，有

.

特別地，令，有.

故.

式②的右邊獲證.

取整數(shù)，使.

則.

取自然數(shù)組（），使，這樣的數(shù)組（）有個(gè).

對(duì)每個(gè)這樣的數(shù)組，再取，其中，，令，則，且，有.

從而，是自然多項(xiàng)式.因此，.

故式②的左邊獲證.

由式②有.

令，得.

對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè).則，.

又由不減可知，.

則.

令，，得.