【題目】如果一個多項式的系數(shù)都是自然數(shù)，則稱為“自然多項式”.對正整數(shù)，用表示滿足的不同自然多項式的個數(shù).證明：.

【答案】見解析

【解析】

首先證明：對任何正整數(shù)，有. ①

事實上，對任何滿足的自然多項式，因為奇數(shù)，所以，的常數(shù)項為奇數(shù).令.則是自然多項式，且.

反之，對任何滿足的自然多項式，令.則是自然多項式，且.

所以，.

對任何滿足的自然多項式，若，令，則是自然多項式，且，這樣的多項式有個；若

，令，則是自然多項式，且，故，這樣的多項式有個.

所以，.

式①成立.

其次證明：對任何正整數(shù)，有. ②

由式①可知，不減，且對，有

.

特別地，令，有.

故.

式②的右邊獲證.

取整數(shù)，使.

則.

取自然數(shù)組（），使，這樣的數(shù)組（）有個.

對每個這樣的數(shù)組，再取，其中，，令，則，且，有.

從而，是自然多項式.因此，.

故式②的左邊獲證.

由式②有.

令，得.

對任意的正整數(shù)，設.則，.

又由不減可知，.

則.

令，，得.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,右頂點為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為坐標原點)，求實數(shù)取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列五個命題：

①若為真命題，則為真命題；

②命題“，有”的否定為“，有”；

③“平面向量與的夾角為鈍角”的充分不必要條件是“”；

④在銳角三角形中，必有；

⑤為等差數(shù)列，若，則

其中正確命題的個數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，橢圓另一個焦點是，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點．若，且，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，點M、F分別是線段AA1、BC的中點．

（1）求證：AF⊥DD1；

（2）求證：AF∥平面MBC1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列{n∈N＋}．

求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（Ⅲ）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度，現(xiàn)在某市進行調(diào)查，隨機調(diào)查了人，他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表：

年齡

[5,15)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

支持“生

育二胎”

4

5

12

8

2

1

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表，并問是否有99的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異：

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

支持

a=

c=

不支持

b=

d=

合計

（2）若對年齡在的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查，恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少？

參考數(shù)據(jù)：P

查看答案和解析>>

同步練習冊答案