Question

若[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2007成立的正整數(shù)n的最小值是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：計算題,探究型

分析：由題目給出的定義，逐步分析得到不等式左邊的規(guī)律，結(jié)合[log2(2m+1-1)]=m，嘗試在m取具體值時由錯位相減法求出不等式左邊的和，需要求得的和小于2007，同時m+1時左邊的和大于等于2007，然后計算滿足使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2007成立的正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log222]=[log2(22+1)]=…=[log2(23-1)]=2，
…
[log22m]=[log2(2m+1)]=…=[log2(2m+1-1)]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log2(2m+1-1)]
=0+1×2+2×2²+…+m•2^m=S．
當m=7時，S=1538，當m=8時，S≥2007，
∴n＞2⁸-1=255，
當255＜n＜2⁹-1時，[log2(29-1)]=8，
由

2007-1538

8

=58.625．
∴n＞255+58.625=313.625．
∴正整數(shù)n的最小值是314．
故答案為314．

點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，關(guān)鍵是對運算規(guī)律的探究，考查了學生的靈活處理問題的能力和進行繁雜運算的能力，是有一定難度的題目．