Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng)．
（I）試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p；
（II）記從口袋中三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為m，用p表示恰有一次中獎(jiǎng)的概率m，求m的最大值及m取最大值時(shí)p、n的值；
（III）當(dāng)n=15時(shí)，將15個(gè)紅球全部取出，全部作如下標(biāo)記：記上i號(hào)的有i個(gè)（i=1，2，3，4），共余的紅球記上0號(hào)．并將標(biāo)號(hào)的15個(gè)紅球放人另一袋中，現(xiàn)從15個(gè)紅球的袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)，求ξ的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析：（I）計(jì)算出從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)的方法數(shù)和其中兩個(gè)球的顏色不同的方法，由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；
（II）求出三次摸獎(jiǎng)中（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出其最大值及相應(yīng)的p值；
（III）記上0號(hào)的有5個(gè)紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列、期望和方差．

解答：解：（I）一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)，有C_n+5²種方法，它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有C_n¹C₅¹種，
∴一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

；
（II）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p（0＜p＜1），三次摸獎(jiǎng)中（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
m=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p（0＜p＜1）
求導(dǎo)數(shù)可得m′=3（p-1）（3p-1）
∴函數(shù)在（0，

1

3

）上為增函數(shù)，在（

1

3

，1）上為減函數(shù)
∴p=

1

3

時(shí)，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，即n=20時(shí)，m_max=

4

9

；
（III）記上0號(hào)的有5個(gè)紅球，從中任取一球，有15種取法，它們是等可能的
故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P	1 3	1 15	2 15	1 5	4 15

∴Eξ=0×

1

3

+1×

1

15

+2×

2

15

+3×

1

5

+4×

4

15

=2
Dξ=（0-2）²×

1

3

+（1-2）²×

1

15

+（2-2）²×

2

15

+（3-2）²×

1

5

+（4-2）²×

4

15

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量的取值；②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1；③求出期望．