Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，平面，M，N分別為AB，SB的中點.

（1）求證：
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）余弦值為

本試題主要是考查了立體幾何中垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。
（1）（利用線面垂直的性質定理得到線線垂直，這是一般證明的方法和解題四輪。關鍵是證明平面，得到
（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量和法向量的夾角，從而得到二面角的余弦值的大小。
解：（1）取的中點O，連接
又平面平面，且平面平面
平面.     又………………………2分
如圖所示，建立空間直角坐標系,

則A(2,0,0),B(0,,0),C(-2,0,0),S(0,0,),M(1,,0),
N(0,,).……4分
，
則………………………6分
（2）由（1）得.設為平面的一個法向量，
則,取得.…………………………8分
.又為平面的一個法向量，
……………………………………………………12分
二面角的余弦值為