過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1左準(zhǔn)線上一點(diǎn)P與左焦點(diǎn)F的連線分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若
PA
=λ
AF
，
PB
=μ
BF
，求λ+μ
分析：利用橢圓的第二定義，
AF
AC
=
BF
BD
=e，利用△PAC∽△PBD將向量之比轉(zhuǎn)化為邊之比，即可求得λ+μ．
解答：解：過A，B兩點(diǎn)做準(zhǔn)線的垂線分別交準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)．準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為E，
由橢圓的第二定義得：
AF
AC
=e，
BF
BD
=e，
∵
PA
=λ
AF
，
PB
=μ
BF
，△PAC∽△PBD，
∴
PA
AC
=
PB
BD
，
∴λ+μ=
PA
AF
+
PB
BF
=
PA
e•AC
-
PB
e•BD
=
1
e
（
PA
AC
-
PB
BD
）=0．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的第二定義，考查平行向量與共線向量，考查三角形相似，考查化歸思想與比例性質(zhì)，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)（2
2
，0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點(diǎn)”M是一個(gè)怎么樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A做圓x2+y2=b2的切線，切點(diǎn)為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點(diǎn)C，若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn)，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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