Question

已知

a

=（x，0），

b

=（1，y），（

a

+

3

b

）⊥（

a

-

3

b

）（1）點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=3x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，D（0，-1）且|

AD

|=|

BD

|，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知x²=3+3y²，由此能得到P的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)E坐標(biāo)為（x₀，y₀）.

y=3x+m x2 3 -y2=1

，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韋達(dá)定理和根的判別式能夠求出m的值．

解答：解：（1）由已知

a

2=3

b

2（2分）
即x²=3+3y²，所以P的軌跡方程為

x2

3

-y2=1（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)E坐標(biāo)為（x₀，y₀）．

y=3x+m x2 3 -y2=1

，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韋達(dá)定理得：x1+x2=-

9m

13

，則x0=-

9m

26

，y0=-

m

26

，（8分）
則AB垂直平分線方程為y+

m

26

=-

1

3

(x+

9m

26

)，
又點(diǎn)D（-1，0）在AB的垂直平分線上，代入方程得m=

13

2

（11分）
（注：也可由DE的斜率為-

1

3

，得

- m 26 +1

- 9m 26

=-

1

3

，解得m=

13

2

）
由△＞0，得m²＞26
所以m=

13

2

時(shí)，直線l：y=3x+m，m≠0與雙曲線C相交，符合題意，
所以m=

13

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．