Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：當(dāng)n∈(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）時，an=(-1)k+1•k，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，定義集合T_m={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，card（A）表示集合A中元素的個數(shù)，則 a₁₅=

 

，card（T₁₅）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：新定義

分析：（1）先根據(jù)題中定義，對相應(yīng)的定義區(qū)間進(jìn)行研究，從而得到數(shù)列的第n項，包括第15項；
（2）由數(shù)列的第n項，得到數(shù)列的前n項和，再考察第n項與前n項和的整除關(guān)系，得到本題的結(jié)論．

解答： 解：取k=5，則

(k-1)k

2

=10，

k(k+1)

2

=15，15∈（10．，15]，
根據(jù)條件：當(dāng)n∈(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）時，an=(-1)k+1•k，
∴取k=5，n=15，a15=(-1)5+1×5=5．
由題意：
取k=1，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（0，1]，1∈（0，1]，故a₁=1，
取k=2，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（1，3]，2，3∈（1，3]，故a₂=-2，a₃=-2，
取k=3，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（3，6]，4，5，6∈（3，6]，故a₄=3，a₅=3，a₆=3，
取k=4，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（6，10]，7，8，9，10∈（6，10]，故a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，
取k=5，區(qū)間(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即為（10，15]，11，12，13，14，15∈（10，15]，故a₁₁=5，a₁₂=5，a₁₃=5，a₁₄=5，a₁₅=5．
又∵定義集合T_m={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，
∴T₁₅={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n∈N^*，且1≤n≤15}，
當(dāng)n=1時，S₁=1，a₁=1，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=2時，S₂=1-2=-1，a₂=-2，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=3時，S₃=-3，a₃=-2，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=4時，S₄=0，a₄=3，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=5時，S₅=3，a₅=3，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=6時，S₆=6，a₆=6，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=7時，S₇=2，a₇=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=8時，S₈=-2，a₈=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=9時，S₉=-6，a₉=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=10時，S₁₀=-10，a₁₀=-4，不符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=11時，S₁₁=-5，a₁₁=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=12時，S₁₂=0，a₁₂=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=13時，S₁₃=5，a₁₃=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=14時，S₁₄=10，a₁₄=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍；
當(dāng)n=15時，S₁₅=15．a(chǎn)₁₅=5，符合S_n是a_n的整數(shù)倍．
符合條件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15．共有9 個．
∵card（A）表示集合A中元素的個數(shù)，
∴card（T₁₅）=9．
故答案為：（1）5；（2）9．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的通項及前n項和的知識，還考查了新定義的概念的理解和應(yīng)用．本題還可以利用區(qū)間的前后端點(diǎn)差為k，得到數(shù)列的規(guī)律，從而研究前n項和的規(guī)律，解決本題．