Question

3．若實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=x-3y的最大值是2．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：由z=x-3y得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由圖象可知當直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$經(jīng)過點A時，直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最小，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
將A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．代入目標函數(shù)z=x-3y，
得z=$\frac{1}{2}$-3×（-$\frac{1}{2}$）=2．
∴目標函數(shù)z=x-3y的最大值是2．
故答案為：2

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．