Question

16．如圖，已知圓的兩條弦AB，CD，延長(zhǎng)AB，CD交于圓外一點(diǎn)E，過(guò)E作AD的平行線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，過(guò)點(diǎn)F作圓的切線(xiàn)FG，G為切點(diǎn)．求證：
（I）△EFC∽△BFE；
（Ⅱ）FG=FE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線(xiàn)平行的性質(zhì)得∠FEB=∠A，由圓周角定理得∠A=∠C，由此能證明△EFC∽△BFE．
（Ⅱ）由三角形相似的性質(zhì)得EF²=FB•FC，由切割線(xiàn)定理得FG²=FB•FC，由此能證明FG=FE．

解答 證明：（Ⅰ）∵EF∥AD，∴∠FEB=∠A，
又∠A=∠C，∴∠C=∠FEB，
在△EFC與△BFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠BFE}\\{∠C=∠FEB}\end{array}\right.$，∴△EFC∽△BFE．…（5分）
（Ⅱ）∵△EFC∽△BFE，
∴$\frac{EF}{FB}=\frac{FC}{EF}$，∴EF²=FB•FC，
又FG是圓的切線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理得FG²=FB•FC，
∴EF²=FG²，∴FG=FE．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的證明，考查線(xiàn)段相等的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓周角定理和切割線(xiàn)定理的合理運(yùn)用．