【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)M(m,2),其焦點(diǎn)為F,且|MF|=2.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)E作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x﹣1)2+y2=1相切,切點(diǎn)分別為A,B,求證:直線AB過定點(diǎn)F(1,0).

【答案】解:(Ⅰ)拋物線C的準(zhǔn)線方程為: ,
,
又M在拋物線上,
,
∴p2﹣4p+4=0,
解得p=2;
所以拋物線C的方程為y2=4x;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E(0,t)(t≠0),
由已知切線不為y軸,設(shè)EA:y=kx+t,
聯(lián)立 ,消去y,
可得k2x2+(2kt﹣4)x+t2=0;
直線EA與拋物線C相切,
∴△=(2kt﹣4)2﹣4k2t2=0,
即kt=1代入 ,
∴x=t2 , 即A(t2 , 2t);
設(shè)切點(diǎn)B(x0 , y0),則由幾何性質(zhì)可以判斷點(diǎn)O,B關(guān)于直線EF:y=﹣tx+t對稱,
,
解得:
;
思路1:直線AB的斜率為 ,
直線AB的方程為 ,
整理 ,
∴直線AB過定點(diǎn)恒過定點(diǎn)F(1,0);
當(dāng)t=±1時,A(1,±2),B(1,±1),此時直線AB為x=1,過點(diǎn)F(1,0);
綜上,直線AB過定點(diǎn)恒過定點(diǎn)F(1,0),
思路2:直線AF的斜率為 ,
直線BF的斜率為
∴kAF=kBF , 即A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線;
當(dāng)t=±1時,A(1,±2),B(1,±1),此時A,B,F(xiàn)共線;
∴直線AB過定點(diǎn)F
【解析】(Ⅰ)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程與M在拋物線上,列出方程組求出p的值即得拋物線方程;(Ⅱ)根據(jù)直線EA與圓錐曲線相切,用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,△=0,根據(jù)圓的對稱性,寫出直線AB的方程;
思路1:利用直線AB的斜率、直線AB的方程,判斷直線AB恒過定點(diǎn);
思路2:根據(jù)三點(diǎn)共線以及直線的斜率,判斷直線AB過定點(diǎn)F.

練習(xí)冊系列答案
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①甲地該月11時的平均氣溫低于乙地該月11時的平均氣溫
②甲地該月11時的平均氣溫高于乙地該月11時的平均氣溫
③甲地該月11時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月11時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差
④甲地該月11時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月11時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差
其中根據(jù)莖葉圖能得到的正確結(jié)論的編號為(

A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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【題目】某企業(yè)有兩個崗位招聘大學(xué)畢業(yè)生,其中第一天收到這兩個崗位投簡歷的大學(xué)生人數(shù)如下表:

崗位

崗位

總計(jì)

女生

12

8

20

男生

24

56

80

總計(jì)

36

64

100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷是有的把握認(rèn)為招聘的、兩個崗位與性別有關(guān)?

(2)從投簡歷的女生中隨機(jī)抽取兩人,記其中投崗位的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.050

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

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【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:

(1)求關(guān)于的線性回歸方程(計(jì)算結(jié)果精確到);

(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計(jì)當(dāng)某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)為分時,他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到).

參考公式及數(shù)據(jù):回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

,其中.

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(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為,當(dāng)為多少時,下部的正四棱柱側(cè)面積最大,最大面積是多少?

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(2)若恒成立,求的取值范圍;

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