已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C1
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的上下焦點(diǎn),其F1是拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且|MF2|=
3
5

(1)試求橢圓C1的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(t≠0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
OP
,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(1)令M為(x0,y0),因?yàn)镸在拋物線C2上,故x02=4y0,①
又|MF1|=
5
3
,則y0+1=
5
3
,②
由①②解得x0=-
2
6
3
,y0=
2
3

橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,1),F(xiàn)2(0,-1),
點(diǎn)M在橢圓上,由橢圓定義,得
2a=|MF1|+|MF2|=
(-
2
6
3
-0)2+(
2
3
-1)2
=4
∴a=2,又c=1,
∴b2=a2-c2=3
∴橢圓C1的方程為
y2
4
+
x2
3
=1

(2)∵直線l:y=k(x+t)與圓x2+(y+1)2=1相切
|kt+1|
1+k2
=1,即k=
2t
1-t2
(t≠0)
把y=k(x+t)代入
y2
4
+
x2
3
=1
并整理得:
(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2-12=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有
x1+x2=-
6k2t
4+3k2
,y1+y2=k(x1+x2)+2kt=
8kt
4+3k2

λ
OP
=(x1+x2,y1+y2
∴P(
-6k2t
(4+3k2
,
8kt
(4+3k2

又∵點(diǎn)P在橢圓上
12k4t2
(4+3k2)2λ2
+
16k2t2
(4+3k2)2λ2
=1
∴λ2=
4k2t2
4+3k2
=
4
(
1
t2
)2+(
1
t2
)+1
(t≠0)
∵t2>0,∴(
1
t2
)
2
+(
1
t2
)
+1
>1
∴0<λ2<4
∴λ的取值范圍為(-2,0)∪(0,2)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四邊形的內(nèi)接四邊形,的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),且.

(I)證明:;
(II)設(shè)不是的直徑,的中點(diǎn)為,且,證明:為等邊三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動(dòng),|MN|=5,點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn),且
MP
=
2
3
PN
,點(diǎn)P隨線段MN的運(yùn)動(dòng)而變化.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
OS
=
OA
+
OB
,是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M,
MA1
=2
A1F1

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M的直線l'與橢圓交于C、D兩點(diǎn),若
OC
OD
=0
,求直線l'的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

直線l過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于C點(diǎn),已知|AF|=4,
CB
=3
BF
,則p=( 。
A.2B.
4
3
C.
8
3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(
3
,0)
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點(diǎn)).求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線AP與BP的斜率之積為-
1
2
,求橢圓的離心率;
(2)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|k|>
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
2
2
,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=
7
2
,
PF1
PF2
=
3
4
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過(guò)F1的直線L與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn),且|
F1M
|=2|
F1N
|
,求直線L的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)A(0,1)、B(0,-1),P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PA、PB的斜率之積為-
1
2

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)Q(2,0),過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線l交C于M、N兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線l,不等式
QM
QN
≤λ
恒成立,求λ的最小值.

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