Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，，異面直線A₁B與AC成60°角，點O、E分別是棱AC和BB₁的中點，點F是棱B₁C₁上的動點．
（1）證明：A₁E⊥OF．
（2）求點E到面AB₁C的距離．
（3）求二面角B₁-A₁C-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，設出棱錐的高，根據異面直線A₁B與AC成60°的角，寫出兩條異面直線的夾角，求出高，再求出異面直線所成的角．
（2）求出平面AB₁C的法向量為 和向量的坐標，代入點E到面AB₁C的距離公式d=，即可求出點E到面AB₁C的距離．
（3）根據建立的坐標系，看出平面的一個法向量，設出另一個平面的法向量，根據法向量與平面上的向量數量積等于0，求出一個法向量，根據兩個向量的夾角做出二面角的值．
解答：解：（1）如圖1，以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）
設棱錐的高為h，則A₁（2，0，h），C（0，2，0），．
∴cos＜，
即cos60°=，解得h=2．
∴E（0，0，1），A₁（202），．
∵F為棱B₁C₁上的動點，故可設f（0，y，2）．
∴．
又
∴
（2）易求出平面AB₁C的法向量為 =（1，1，1），=（2，0，-1）
∴點E到面AB₁C的距離d==
（3）易知平面A₁CC₁的一個法向量為 =（1，1，0），
設平面A₁B₁C的一個法向量為 =（x，y，1），則
=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①
=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得 ．
∴cos＜＞=，
∴＜＞=60°．
即二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°．
點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關鍵是建立合適的坐標系，把邏輯性很強的理論推導轉化成數字的運算，降低了題目的難度