Question

【題目】如圖，已知矩形中，，，為的中點(diǎn)，將沿著折起，使得.

（1）求證：；

（2）若是的中點(diǎn)，求直線與平面的所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)，，為的中點(diǎn)，在中，由勾股定理可得.由，同理在中，得到.由線面垂直的判定定理證明面即可.

（2）結(jié)合（1）以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)垂直于面方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和的坐標(biāo)，設(shè)直線與平面的所成角，由求解.

（1）因?yàn)?/span>，，為的中點(diǎn)，

所以在中，，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以在中，因?yàn)?/span>，

所以.

又，

所以面，

又面，

所以.

（2）以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)垂直于面方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則，

即，

令，則

所以平面的一個(gè)法向量為，

又，

設(shè)直線與平面的所成角，

所以與面所成角的正弦值為：.