【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若不等式時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

3)當(dāng)時(shí),證明:.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)[1,+∞);(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)求導(dǎo)數(shù)可得,當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)易得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

2)由(1)知當(dāng)時(shí),不等式時(shí)恒成立,當(dāng)時(shí),不等式不成立,綜合可得的范圍;

3)由(2)的單調(diào)性易得,進(jìn)而可得,,將上述式子相加可得結(jié)論.

解:(1)求導(dǎo)數(shù)可得,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),由可得,

函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

(2)由(1)知當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,

,即不等式時(shí)恒成立,

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,

存在使得

即不等式不成立,

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為;

(3)由(2)得當(dāng)時(shí),不等式時(shí)恒成立,

,,

,

,,,,

將上述式子相加可得

原不等式得證.

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