Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂x．
（1）解不等式f（x-1）+f（x）＞1；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（2^x+1）+kx，若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；
（3）當x∈[t+2，t+3]時，是否存在實數(shù)t（其中0＜t＜1），使得不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷,對數(shù)的運算性質(zhì),指、對數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡f（x-1）+f（x）＞1；利用對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即可．
（2）通過函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義推出方程，即可求實數(shù)k的值；
（3）轉(zhuǎn)化不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立，為函數(shù)的最值問題，通過絕對值函數(shù)的最值，求出t的取值范圍即可．

解答： （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分（4分），第2小題滿分（5分），第3小題滿分（7分）．
解（1）log₂x+log₂（x-1）＞2，可得：

x＞0 x-1＞0 x(x-1)＞4

，
解得x＞2（4分）（給出x＜-1或x＞2扣1分）
（2）g（-x）=g（x），即log2(2-x+1)-kx=log2(2x+1)+kx，（5分）
整理，得（2k+1）x=0，k=-

1

2

；                                    （9分）
（如g（-1）=g（1），k=-

1

2

，沒有證明扣2分）
（3）不等式|f（

1

x-t

）-f（x-3t）|≤1恒成立，
即|log2

1

x-t

-log2(x-3t)|=|log2(x-t)(x-3t)|≤1，（11分）
等價于

1

2

≤h(x)=(x-t)(x-3t)≤2恒成立，
解h(x)max=h(t+3)≤2，h(x)min=h(t+2)≥

1

2

，得t≤

7

8

，t≥

7

6

，
綜上，不存在t符合題意．                                              （16分）

點評：本題考查對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．