Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

+

π

4

）-sin（x+π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若β∈（

π

2

，π），且f（β-

π

3

）=

10

5

，tan（α-β）=

1

2

，求tanα．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)利用三角函數(shù)周期公式求得函數(shù)最小正周期．
（2）把x=β-

π

3

代入函數(shù)解析式，求得sinβ，根據(jù)β的范圍求得tanβ，最后利用正切函數(shù)的兩角和公式求得tanα．

解答： 解：f（x）=2

3

sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

+

π

4

）-sin（x+π）=

3

sin（x+

π

2

）+sinx
=

3

cosx+sinx=2sin（x+

π

3

），
（1）T=

2π

1

=2π，
（2）f（β-

π

3

）=2sinβ=

10

5

，
∴sinβ=

10

10

，
∵β∈（

π

2

，π），
∴tanβ=

1

3

，
∵tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

tanα- 1 3

1+ 1 3 tanα

=

1

2

，
∴tanα=1．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，兩角和與差的正弦和正切公式，二倍角公式的應(yīng)用以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．