Question

9．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，E為AC中點．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁E；
（Ⅱ）求證：平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AB₁∥平面BC₁E；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)CB₁，與BC₁交于點F，連結(jié)EF．…（1分）
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以四邊形BCC₁B₁是矩形，
點F是B₁C中點．…（3分）
又E為AC中點，所以EF∥AB₁．…（5分）
因為EF?平面BC₁E，AB₁?平面BC₁E，
所以AB₁∥平面BC₁E．…（7分）
（Ⅱ）證明：因為AB=BC，E為AC中點，
所以BE⊥AC．…（9分）
又因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥底面ABC，從而CC₁⊥BE．…（11分）
所以BE⊥平面ACC₁A₁．…（12分）
因為BE?平面BC₁E，…（13分）
所以平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．…（14分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．