已知函數(shù)f（x）=數(shù)學公式，（a＞0），
（Ⅰ）當f（x）∈[數(shù)學公式，數(shù)學公式]時，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若f（0）=0，正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an），
①證明{數(shù)學公式+1}是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
②若Sn是數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＜2．

解：（1）∵f（x）∈[，]，
∴
∴
∴
又a＞0，
所以
∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）=，
由an+1=f（an），可得，，
即
∵a1=1
∴
∴數(shù)列{+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
∴=2n
∴
②∴=
∴
∴Sn=a1+a2+…+an==
分析：（1）由題意可得，，解分式不等式可求x的范圍
（2）①由f（0）=0，可求a，進而可求f（x），由an+1=f（an）可得，，構(gòu)造，可知數(shù)列{+1}是等比數(shù)列，可求，進而可求an
②由=可證明，可證
點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)求解函數(shù)的解析式，等比數(shù)列的 定義法的證明，及等比數(shù)列的 通項公式的應用，等比數(shù)列的求和公式的應用等知識的綜合．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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