Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的左頂點，B，C在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=30°，則橢圓E的離心率等于

 

．

Answer 1

分析：首先利用橢圓的對稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點是關(guān)于Y軸對稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=

3

2

b/

a

2

=

3

3

，求得a=3b，最后根據(jù)a²=c²+b²得出離心率．

解答：解：∵AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形
∴BC∥OA，
B、C兩點的縱坐標(biāo)相等，
B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)
∴B、C兩點是關(guān)于Y軸對稱的．
由題知：OA=a
四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a
可設(shè)B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y）
代入橢圓方程解得：|y|=

3

2b

設(shè)D為橢圓的右頂點，因為∠OAB=30°，四邊形OABC為平行四邊形
所以∠COD=30°
對C點：tan30°=

3

2

b/

a

2

=

3

3

解得：a=3b
根據(jù)：a²=c²+b²
得：a²=c²+

a2

9

e²=

8

9

e=

2 2

3

故答案為：

2 2

3

．

點評：本題考查了橢圓的對稱性以及簡單性質(zhì)，由橢圓的對稱性求出B、C兩點的縱坐標(biāo)進(jìn)而得到a=3b是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．