Question

4．已知復(fù)數(shù)z=（$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$）²⁰¹⁵，i為虛數(shù)單位，則z=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．

Answer 1

分析 由于$（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i，可得復(fù)數(shù)z=i¹⁰⁰⁷×$\frac{\sqrt{2}i（1-i）}{（1+i）（1-i）}$，化簡即可得出．

解答 解：∵$（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i，
∴復(fù)數(shù)z=（$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$）²⁰¹⁵=$[（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}]^{1007}$×$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$=i¹⁰⁰⁷×$\frac{\sqrt{2}i（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=（i⁴）²⁵¹×i³×$\frac{\sqrt{2}i+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．