Question

8．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}+1}$，當x＞0時，不等式f（x）＞$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用分離常數法，求出a的不等式，構造函數g（x），求出g（x）的取值范圍即得a的取值范圍

解答 解：當x＞0時，不等式f（x）＞$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立，
即為當x＞0時，x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＜ax²+1恒成立，
即a＞$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中x＞0，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$＜0在x＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是單調減函數；
∴0＜g（x）＜$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{1}{2}$；
∴實數a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的性質與應用問題，也考查了利用導數判斷函數的單調性，不等式恒成立問題注意轉化為求函數的最值問題，是綜合性題目．