Question

已知函數(shù)f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，對(duì)?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），則b-a的最小值為（　�。�

• A、1+

  1

  2

  ln2
• B、1-

  1

  2

  ln2
• C、2

  e

  -1
• D、e²-

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，得：f^-1（x）=

lnx

2

，g^-1（x）=ex-

1

2

，則b-a的最小值，即為h（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，
∴f^-1（x）=

lnx

2

，g^-1（x）=ex-

1

2

，
令h（x）=g^-1（x）-f^-1（x）=ex-

1

2

-

lnx

2

，
則b-a的最小值，即為h（x）的最小值，
∵h(yuǎn)′（x）=ex-

1

2

-

1

2x

，
令h′（x）=0，解得x=

1

2

，
∵當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，h（x）取最小值1-

ln 1 2

2

=1+

ln2

2

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，其中將求b-a的最小值，轉(zhuǎn)化為h（x）的最小值，是解答的關(guān)鍵．