Question

1．已知拋物線y²=2px（p＞0），點(diǎn)E（2，1），若斜率為2的弦過點(diǎn)E，且以E為弦中點(diǎn)．
（1）求拋物線方程；
（2）若AB是拋物線過點(diǎn)C（0，-3）的任一弦，點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線AM，BM分別與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線PQ的斜率為定值，并求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（ x₁，y₁）、（ x₂，y₂），則${y_1}^2=2p{x_1}，\;\;{y_2}^2=2p{x_2}$，再根據(jù)弦的斜率為2求得p的值，可得拋物線方程．
（2）設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），把AB方程代入拋物線的方程，利用判別式大于零求得m的范圍，再把MA的方程代入拋物線的方程，設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理以及斜率公式求得該弦的斜率為定值．根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)PQ的解析式，根據(jù)m的范圍，利用不等式的性質(zhì)求出|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（ x₁，y₁）、（ x₂，y₂），則${y_1}^2=2p{x_1}，\;\;{y_2}^2=2p{x_2}$，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂）．
又$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2p}{{{y_1}+{y_2}}}=p$，求得p=2，拋物線方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），AB方程：m（y+3）=x，代入y²=4x，y²-4my-12m=0，
由△＞0，求得m＜-3或m＞0，y₃+y₄=4m，y₃•y₄=-12m．
由于點(diǎn)M（-1，0），直線AM：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}（x+1）$，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，可得${y^2}-4•\frac{{{x_1}+1}}{y_1}y+4=0$，
∴${y_1}{y_p}=4，{y_p}=\frac{4}{y_1}$．
∴點(diǎn)$P（\frac{4}{{{y^2}_1}}，\;\frac{4}{y_1}），Q（\frac{4}{{{y^2}_2}}，\;\frac{4}{y_2}）$，${k_{PQ}}=\frac{{\frac{4}{y_1}-\;\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{{{y^2}_1}}-\frac{4}{{{y^2}_2}}}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{-12m}{4m}=-3$，為定值．
∵$|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|{y_P}-{y_Q}|=\frac{{4\sqrt{10}}}{9}\sqrt{1+\frac{3}{m}}$．
由m＜-3，或m＞0，可得$|PQ|∈（0，\frac{{4\sqrt{10}}}{9}）∪（\frac{{4\sqrt{10}}}{9}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，直線的斜率公式，不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題．