Question

在平面直角坐標系xoy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓G與拋物線y²=-8x有一個公共的焦點，且過點（-2，

2

）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若

OA

⊥

OB

（O為坐標原點），試判斷直線l與圓x²+y²=

8

3

的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c=2 4 a2 + 2 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．直線l不過坐標原點，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），y₁＞y₂，當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=m，（m≠0），由

OA

⊥

OB

，得直線l的方程為x=±

2 6

3

，直線l與圓x2+y2=

8

3

相切；當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+n，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-8=0，由韋達定理和點到直線距離公式能證明直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
橢圓G與拋物線y²=-8x有一個公共的焦點，且過點（-2，

2

），
∴

c=2 4 a2 + 2 b2 =1 a2=b2+c2

，…（2分）
解得a²=8，b²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）結論：直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．
證明：由題意可知，直線l不過坐標原點，
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），y₁＞y₂，
（�。┊斨本�l⊥x軸時，直線l的方程為x=m，（m≠0），且-2

2

＜m＜2

2

，
則x1=m，y1=

1- m2 2

，x2=m，y2=-

4- m2 2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m2-(4-

m2

2

)=0，
解得m=±

2 6

3

，故直線l的方程為x=±

2 6

3

，
因此，點O（0，0）到直線l的距離為d=

2 6

3

，
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），
半徑r=

2 6

3

=d，∴直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．…（7分）
（ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，
設直線l的方程為y=kx+n，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y得：
（1+2k²）x²+4knx+2n²-8=0，
∴x1+x2=

-4kn

1+2k2

，x1x2=

2n2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）
=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2
=

n2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2n2-8

1+2k2

+

n2-8k2

1+2k2

=0，
3n²-8k²-8=0，
3n²=8k²+8，①
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），半徑r=

2 6

3

，
圓心O到直線l的距離為d=

|n|

1+k2

，
∴d²=（

|n|

1+k2

）²=

n2

1+k2

=

3n2

3(1+k2)

，②
將①式帶入②式得：d2=

8k2+8

3(1+k2)

=

8

3

，
∴d=

2 6

3

=r，∴直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷與證明，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．