Question

下列四種說法
①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z³=-2

2

i；
②若S₁=

∫

2 1

x²dx，S₂=

∫

2 1

1

x

dx，S₃=

∫

2 1

e^xdx，則三者的大小關(guān)系為S₃＜S₂＜S₁；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），則

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是2（2k+1）．其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、③
• C、③④
• D、④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①由復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z=±

2

i，可得z³=±2

2

i；
②利用微積分基本定理可得S₁=

x3

3

|

2 1

=

7

3

；S₂=lnx

|

2 1

=ln2；S₃=ex

|

2 1

=e²-e．即可比較出大小；
③由（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），令x=0，則a₀=1．令x=

1

2

，則0=a0+

a1

2

+

a2

22

+…+

an

2n

，即可得出；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是

(k+1+k)(k+1+k+1)

k+1

．

解答： 解：①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z=±

2

i，∴z³=±2

2

i，因此①不正確；
②∵S₁=

∫

2 1

x²dx，∴S₁=

x3

3

|

2 1

=

7

3

；S₂=

∫

2 1

1

x

dx=lnx

|

2 1

=ln2；S₃=

∫

2 1

e^xdx=ex

|

2 1

=e²-e．
∵e2-e＞

7

3

＞ln2，∴三者的大小關(guān)系為S₃＞S₁＞S₂，因此不正確；
③由（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），令x=0，則a₀=1．令x=

1

2

，則0=a0+

a1

2

+

a2

22

+…+

an

2n

，
則

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-a₁=-1，因此正確；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是

(k+1+k)(k+1+k+1)

k+1

即
2（2k+1）．
其中正確的是③④．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、微積分基本定理、二項式定理的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．