Question

已知函數(shù)f(x)＝xlnx－x2.

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有幾個(gè)極值點(diǎn)？

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝xlnx－x2有兩個(gè)極值？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）0個(gè)極值點(diǎn) （2）(0,1)

【解析】【解析】
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xlnx－x2，f′(x)＝lnx＋1－x.

由于極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于0，故要研究函數(shù)g(x)＝f′(x)＝lnx＋1－x的零點(diǎn)的情況．

g′(x)＝－1，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＝－1>0；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＝－1<0.

∴g(x)＝lnx＋1－x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴g(x)max＝g(1)＝ln1＋1－1＝0，即f′(x)≤0.

故f′(x)＝lnx＋1－x只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1，且在x＝1兩側(cè)都有f′(x)<0，故x＝1不是極值點(diǎn)．

∴函數(shù)y＝f(x)有0個(gè)極值點(diǎn)．

(2)f′(x)＝lnx＋1－ax，

函數(shù)f(x)＝xlnx－x2有兩個(gè)極值?方程f′(x)＝lnx＋1－ax＝0在(0，＋∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根，且每一根兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)f′(x)值異號?直線y＝a與曲線h(x)＝有兩個(gè)交點(diǎn)．

h′(x)＝，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，

∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)>0，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→0.

∴當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)max＝1，其圖象大致是：

由圖可知a的取值范圍是(0,1)．