Question

 如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C.已知AB=3 m,AD=2 m.

(1) 要使矩形AMPN的面積大于32 m2,則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(2) 當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求最小面積.

(3) 若AN的長(zhǎng)度不少于6 m,則當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.

Answer 1

 (1) 設(shè)AN=x m(x>2),則ND=x-2.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/11/14/2014111114220446556765.files/image026.gif'>=,即=,所以AM=.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/11/14/2014111114220446556765.files/image030.gif'>·x>32,所以3x2-32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0,

所以2<x<或x>8.

即滿(mǎn)足題意的AN的取值范圍為∪(8,+∞).

(2) S矩形AMPN=

=

=3(x-2)++12

≥2+12=24,

當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào),即當(dāng)AN=4m時(shí),矩形AMPN的面積最小,最小面積為24 m2.

 (3) 因?yàn)镾矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),

令x-2=t(t≥4),則f(t)=3t++12.

因?yàn)閒'(t)=3-,當(dāng)t≥4時(shí),f'(t)>0,

所以f(t)=3t++12在[4,+∞)上單調(diào)遞增,

所以f(t)min=f(4)=27,此時(shí)x=6.

故當(dāng)AN的長(zhǎng)度是6 m時(shí),矩形AMPN的面積最小,最小面積為27 m2.