Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線l：y=-4x+1被拋物線C所截的兩點AB的中點M的橫坐標為-2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）試問：是否存在定點M₁，使過點M₁的直線與拋物線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑圓過原點？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設拋物線方程設為y²=ax（a＞0），直線l的方程為：y=-4x+1，聯(lián)立方程組，得16x²-（8+a）x+1=0，由此利用韋達定理結合已知條件求出拋物線C的方程為y²=16x．
（2）設存在滿足條件的定點M₁，設動直線方程為y=kx+b（k≠0），聯(lián)立

y=kx+b y2=16x

，得ky²-16y+16b=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出存在異于原點的定點M₁（16，0）滿足條件．

解答： 解：（1）∵拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，
∴設拋物線方程設為y²=ax（a＞0），①
直線l的方程為：y=-4x+1，②
將②代入①，整理得
16x²-（8+a）x+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由題意知：y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=-4×

8+a

16

+2=2×（-2）=-4，
解得a=16，
∴拋物線C的方程為y²=16x．
（2）設存在滿足條件的定點M₁，
設動直線方程為y=kx+b（k≠0），
聯(lián)立

y=kx+b y2=16x

，得ky²-16y+16b=0，
設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
y₃+y₄=

16

k

，y₃y₄=

16b

k

，
x₃x₄=

y3-b

k

•

y4-b

k

=

y3y4-b(y3+y4)+b2

k2

=

16b k - 16b k +b2

k2

=

b2

k2

，
∵以PQ為直徑圓過原點，
∴x₃x₄+y₃y₄=

b2

k2

+

16b

k

=0，
解得b=-16k，
∴y=kx-16k=k（x-16），恒過定點（16，0），
當直線的斜率不存在時，設直線方程為x=x₀，
由題意解得x₀=16，
∴存在異于原點的定點M₁（16，0）滿足條件．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．