Question

等差數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)的和為S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n} 滿足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜．

Answer 1

（1）解：a₆=S₆-S₅=15，由=60，
解得a₁=5，又∵d==2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）證明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
疊加得=，
所以．…（9分）

∴，
∴
=
=．…（12分）
分析：（1）a₆=S₆-S₅=15，由=60，解得a₁=5，再由d==2，能求出{a_n} 的通項(xiàng)公式．
（2）由b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，b₄-b₃=a₃，…，b_n-b_n-1=a_n-1，疊加得=，所以.，由裂項(xiàng)求和法能夠證明T_n＜．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，證明T_n＜．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用和裂項(xiàng)求和法的靈活運(yùn)用．