Question

在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜邊AB上的高為h，則有結(jié)論h²=

a2b2

a2+b2

，運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為a，b，c，且三棱錐的直角頂點(diǎn)到底面的高為h，則有結(jié)論：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：由平面上的直角三角形Rt△ABC中的邊與高的關(guān)系式，類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．

解答： 解：如圖，設(shè)PA、PB、PC為三棱錐的三條兩兩互相垂直的側(cè)棱，三棱錐P-ABC的高為PD=h，
連接AD交BC于E，
∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面PBC，PE?平面PBC，
∴PA⊥PE，PA⊥BC，
∴AE⊥BC，PE⊥BC
∴PE²=

b2c2

b2+c2

，
∴h2=PD2=

PA2PE2

PA2+PE2

=

a2• b2c2 b2+c2

a2+ b2c2 b2+c2

=h=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

．
故答案為：h=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了類比推理的思想和方法，考查運(yùn)算求解能力，解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的定理類比出立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系．