Question

已知數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項和，且滿足S_n=3（1-a_n），數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

32

7

，b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列；
（3）設(shè)c_n=

bn

4n

-

1

7

，d_n=3c_n²-4a_n，求數(shù)列{d_n}的最小項的值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2），利用遞推公式可得S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1可求
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1，分別求出b₁，b₂，b₃，即可證明
（3）由b_n=4^n-1-3b_n-1，可得數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比q=-

3

4

，再求出d_n，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值

解答： 解：（1）S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2）
則S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1
∴a_n=

3

4

a_n-1
當(dāng)n=1時，S₁=3-3a₁=a₁
∴a₁=

3

4

∴{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=

3

4

，q=

3

4

∴a_n=(

3

4

)n
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2），b₁=

32

7

，
∴b₂=4-3b₁=-

68

7

，b₃=4²-3b₂=

336

7

，
∵

68

7

×

68

7

≠

32

7

×

336

7

，
∴數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列；
（3）由b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2），
得

bn

4n

=-

3

4

•

bn-1

4n-1

+

1

4

，
設(shè)e_n=

bn

4n

，
∴e_n=-

3

4

e_n-1+

1

4

（n≥2），
∴c_n=e_n-

1

7

=-

3

4

（e_n-1-

1

7

），（n≥2），
∴數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列，首項為e₁-

1

7

=

b1

4

-

1

7

=1，公比q=-

3

4

，
∴c_n=(-

3

4

)n-1
∵d_n=3c_n²-4a_n，
∴d_n=3[(-

3

4

)n-1]²-4•(

3

4

)n=3[(

3

4

)n-1-

1

2

]²-

3

4

，
令u=(

3

4

)n-1＞0，
則當(dāng)0＜u≤

1

2

時，d_n為減函數(shù)，

1

2

＜u≤1時，d_n為增函數(shù)
又當(dāng)n=2時，|(

3

4

)2-1-

1

2

|=

1

4

n=3時，|(

3

4

)3-1-

1

2

|=

1

16

，
n=4時，|(

3

4

)4-1-

1

2

|=

5

64

而

1

4

＞

5

64

＞

4

64

∴n=3時，|(

3

4

)n-1-

1

2

|最小，
∴數(shù)列{d_n}的最小項的值為

1

16

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求 數(shù)列的通項公式，構(gòu)造特殊數(shù)列（等差，等比數(shù)列）求解數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列 的最大（�。╉�，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，要求考生具備一定的應(yīng)用知識分析問題，解決問題的能力，屬于難題