Question

【題目】已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2，0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過定點(diǎn)M(0，－2)的直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍；

(3)若動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)在曲線C上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：(1)設(shè)點(diǎn)，利用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡；(2)設(shè)直線方程，利用圓心到直線的距離和半徑的大小進(jìn)行求解；（3）將求斜率問題轉(zhuǎn)化為判定直線和圓有公共點(diǎn)問題，再利用圓心到直線的距離和半徑的大小進(jìn)行求解.

試題解析：(1)設(shè)P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，

得P點(diǎn)軌跡(曲線C)方程為x2＋y2＝1，

即曲線C是圓．

(2)可設(shè)直線l的方程為y＝kx－2，

其一般方程為kx－y－2＝0，

由直線l與曲線C有交點(diǎn)，得≤1，得k≤－或k≥，

即所求k的取值范圍是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．

(3)由動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，設(shè)定點(diǎn)N(1，－2)，

則直線QN的斜率kQN＝＝u，

又點(diǎn)Q在曲線C上，故直線QN與圓有交點(diǎn)，

設(shè)直線QN的方程為y＋2＝u(x－1)，

即ux－y－u－2＝0.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，＝1，

解得u＝－，

當(dāng)u不存在時(shí)，直線與圓相切，

所以u∈(－∞，－]．