Question

已知函數(shù)f（x）的定義域R，當x＞0時，f（x）＞1，且對于任意的a，b∈R，恒有f（a+b）=f（a）×f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求證：當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（3）求證：f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令a=1，b=0，f（1）=f（1）f（0），進而得到f（0）=1
（2）由已知中：當x＞0時，f（x）＞1，可得x＞0時，-x＜0，令y=-x，可由（1）的結論，證得0＜f（x）＜1；
（3）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，結合當x＜0時，0＜f（x）＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．

解答： （1）解：令a=1，b=0，得f（1）=f（1）f（0），
∵x＞0時，f（x）＞1，
∴f（0）＞0，
∴f（0）=1；
（2證明：令x＜0，則-x＞0，令y=-x，
得f（0）=f（x）f（-x），
得f（x）=

1

f(-x)

，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
故當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（3）證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．