Question

P（2，1）在圓x²+y²-8x-4y+11=0內，過點P做圓的割線l，交圓于A、B兩點．
（1）若|AB|最短，求最短長度及此時直線l的方程；
（2）若|AB|=2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的性質，可得當l⊥CP時，弦AB長最短．求出直線OP的斜率，從而得到l的斜率，利用點斜式列式結合點到直線的距離公式加以計算，即可求出此時直線l的方程；
（2）由|AB|=2

5

結合垂徑定理算出圓心到直線l的距離d=2，再分直線l的斜率是否存在進行分類討論，由點斜式方程結合點到直線的距離公式建立關于直線l斜率k的方程，解之即可得到所求直線l的方程．

解答：解：（1）由圓方程x²+y²-8x-4y+11=0，可得圓心C（4，2），半徑r=3
當l⊥CP時，弦AB長最短
此時k_cp=

1-0

2-0

=

1

2

，可得k_l=

-1

kOP

=-2
∴直線l的方程為y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0
∵圓心C到l的距離d=

|8+2-5|

5

=

5

∴|AB|=2

r2-d2

=2

9-5

=4．…（7分）
（2）∵|AB|=2

5

，
∴圓心到直線的距離d=

r2- 1 4 |AB|2

=

9-5

=2
當l的斜率存在時，設l為方程為y-1=k（x-2）
可得

|2k-1|

k2+1

=2，解之得k=-

3

4

，可得直線l方程為3x+4y-10=0
當l的斜率不存在時，l方程為x=2也符合題意
綜上所述，直線l的方程是x=2或3x+4y-10=0（14分）

點評：本題給出經過定點的直線，求直線被圓截得弦長最短時直線的方程．著重考查了圓的方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．