Question

中心在原點O、焦點在坐標軸上的橢圓與直線x+y-1=0交于A，B兩點，C是AB的中點，若以AB為直徑的圓過圓點，且OC的斜率為

1

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)橢圓的方程為ax²+by²=1（a＞0，b＞0），聯(lián)立直線與圓的方程

x+y-1=0 ax2+by2=1

，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，由已知得a+b=2，

a

b

=

1

2

，由此能求出橢圓的方程．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為ax²+by²=1（a＞0，b＞0），
聯(lián)立直線與圓的方程

x+y-1=0 ax2+by2=1

，消去y，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
則x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

，
∵以AB為直徑的圓過圓點，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂，
∴1-（x₁+x₂）+2x₁x₂=0，
代入，得1-

2b

a+b

+2×

b-1

a+b

=0，
化簡，得a+b=2，①
∴x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，y0=1-x0=

a

a+b

，
又OC的斜率為

1

2

，
x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，y0=1-x0=

a

a+b

，
又OC的斜率為

1

2

，
∴

a

b

=

1

2

，②
解①②，得a=

2

3

，b=

4

3

，橢圓的方程是

2

3

x2+

4

3

y2=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．