Question

【題目】2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）

（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）2018年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元.

【解析】

（1）根據(jù)題意時(shí)，，求出，進(jìn)一步求出銷售價(jià)格，由利潤(rùn)銷售額固定成本再投入成本促銷費(fèi)，即可求解.

（2）由（1），利用基本不等式即可求解.

（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），

則，解得，.

所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），

2018年的利潤(rùn).

（2）當(dāng)時(shí)，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）.

故該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元.