圓心在曲線(xiàn)y=
2x
(x＞0)上，且與直線(xiàn)2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為
（x-1）2+（y-2）2=5
（x-1）2+（y-2）2=5
．
分析：根據(jù)圓心在曲線(xiàn)y=
2
x
(x＞0)上，設(shè)出圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓與直線(xiàn)2x+y+1=0相切，得到圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，要使圓的面積最小即為圓的半徑最小，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出設(shè)出的圓心到已知直線(xiàn)的距離d，利用基本不等式求出d的最小值及此時(shí)a的值，進(jìn)而得到此時(shí)的圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．
解答：解：由圓心在曲線(xiàn)y=
2
x
(x＞0)上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，
2
a
）a＞0，
又圓與直線(xiàn)2x+y+1=0相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離d=圓的半徑r，
由a＞0得到：d=
2a+
2
a
+1
5
≥
4+1
5
=
5
，當(dāng)且僅當(dāng)2a=
2
a
即a=1時(shí)取等號(hào)，
所以圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑的最小值為
5
，
則所求圓的方程為：（x-1）2+（y-2）2=5．
故答案為：（x-1）2+（y-2）2=5
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線(xiàn)與圓相切時(shí)滿(mǎn)足的關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C的圓心在直線(xiàn)y=2x上，且與直線(xiàn)l：x+y+1=0相切于點(diǎn)P（-1，0）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），點(diǎn)B是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明表示什么曲線(xiàn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

關(guān)于曲線(xiàn)C：（x-m）2+（y-2m）2=
n2
2
，有以下五個(gè)結(jié)論：
（1）當(dāng)m=1時(shí)，曲線(xiàn)C表示圓心為（1，2），半徑為
2
2
|n|的圓；
（2）當(dāng)m=0，n=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)（3，3）向曲線(xiàn)C作切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則直線(xiàn)AB方程為3x+3y-2=0； 
（3）當(dāng)m=1，n=
2
時(shí)，過(guò)點(diǎn)（2，0）向曲線(xiàn)C作切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為y=-
3
4
（x-2）；
（4）當(dāng)n=m≠0時(shí)，曲線(xiàn)C表示圓心在直線(xiàn)y=2x上的圓系，且這些圓的公切線(xiàn)方程為y=x或y=7x；
（5）當(dāng)n=4，m=0時(shí)，直線(xiàn)kx-y+1-2k=0（k∈R）與曲線(xiàn)C表示的圓相離．
以上正確結(jié)論的序號(hào)為
（2）（4）
（2）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•廣州模擬）圓心在曲線(xiàn)y=
2
x
(x＞0)上，且與直線(xiàn)2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：廣州模擬 題型：單選題

圓心在曲線(xiàn)y=
2
x
(x＞0)上，且與直線(xiàn)2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為（　�。�
A．（x-1）2+（y-2）2=5B．（x-2）2+（y-1）2=5
C．（x-1）2+（y-2）2=25D．（x-2）2+（y-1）2=25

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