Question

14．曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂：ρ=2cosθ與極軸交于O，D兩點(diǎn)．
（I）分別寫出曲線C₁的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)D的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）射線l：θ=β（ρ＞0，0＜β＜π）與曲線C₁，C₂分別交于點(diǎn)A，B，已知△ABD的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求β．

Answer 1

分析 （I）直接利用參數(shù)方程化為普通方程，然后再化為極坐標(biāo)方程即可，求解D點(diǎn)極坐標(biāo)時(shí)，可以先落實(shí)曲線C₂的方程，然后確定點(diǎn)D的直角坐標(biāo)，然后，確定其極坐標(biāo)即可．
（Ⅱ）不妨設(shè)A（ρ₁，β），B（ρ₂，β），從而得到|AB|=|ρ₁-ρ₂|=ρ₂=2cosβ，然后確定β=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

解答 解：（I）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴（x-2）²+y²=4，
∴x²+y²-4x=0
∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²=4ρcosθ，
∵曲線C₂：ρ=2cosθ與極軸交于O，D兩點(diǎn)．
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x=0，
令y=0，得到x=0或x=2，
∴O（0，0），D（2，0）
∴點(diǎn)D的極坐標(biāo)（2，0），
（Ⅱ）不妨設(shè)A（ρ₁，β），B（ρ₂，β），
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=ρ₂=2cosβ，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||OD|sinβ=sin2β=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴β=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程和普通方程的互化、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化等知識(shí)，屬于中檔題．