Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x-1）²+$\frac{a}{2}$ln（2x-1）．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）記g（x）=alnx，若對任意x≥1，都有f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再找到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的函數(shù)f（x）的極值點；
（2）構(gòu)造函數(shù)，$h（x）={（x-1）^2}+\frac{a}{2}ln（2x-1）-alnx$，求證函數(shù)的最小值為0，即可．

解答 解：（1）f（x）=（x-1）²-ln（2x-1），定義域$（\frac{1}{2}，+∞）$，
∴$f'（x）=2（x-1）-\frac{2}{2x-1}=\frac{2x（2x-3）}{2x-1}$，
令f′（x）=0，得$x=\frac{3}{2}$，

x	$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

∴f（x）的極小值點為：$x=\frac{3}{2}$；無極大值點．
（2）由題得，對任意x≥1，恒有${（x-1）^2}+\frac{a}{2}ln（2x-1）-alnx≥0$，
令$h（x）={（x-1）^2}+\frac{a}{2}ln（2x-1）-alnx$．
則h（x）_min≥0，其中x≥1，
∵$h'（x）=2（x-1）+\frac{a}{2x-1}-\frac{a}{x}=\frac{2x（x-1）（2x-1）+a（1-x）}{x（2x-1）}$=$\frac{{（x-1）（4{x^2}-2x-a）}}{x（2x-1）}$，
∵x≥1，
∴$\frac{x-1}{x（2x-1）}≥0$
當a≤2時，恒有4x²-2x-a≥0，所以h′（x）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，h（x）_min=h（1）=0，成立；
當a＞2時，令4x²-2x-a=0，則$x=\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{4}＞1$
當$x∈（1，\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{4}）$時，h′（x）＜0，單調(diào)遞減；
當$x∈（\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{4}，+∞）$時，h′（x）＞0，單調(diào)遞增；

∴$h（\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{4}）$為函數(shù)的最小值，又$h（\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{4}）＜h（1）=0$，所以不成立
綜上所述，a≤2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．