Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f″（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數(shù)a為方程f（x）=x的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镸，對(duì)任意[a，b]⊆M，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x₀）成立，求證：方程f（x）=x存在唯一的實(shí)數(shù)根a；
（Ⅱ） 求證：當(dāng)x＞a時(shí)，總有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）對(duì)任意x₁、x₂，若滿足|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

解：（I）設(shè)f（x）=x有不同于α的實(shí)數(shù)根β，即f（β）=β，不妨設(shè)β＞α，
于是在α與β間必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f′C、∴f′C、=1，這與已知矛盾，∴方程f（x）=x存在唯一實(shí)數(shù)根α．
（II）令g（x）=x-f（x）
∴g′（x）=1-f′（x）＞0
∴g（x）在定義域上為增函數(shù)
又g（α）=α-f（α）=0∴當(dāng)x＞α?xí)r，g（x）＞g（α）=0
∴當(dāng)x＞α?xí)r，f（x）＜x、
（III）不妨設(shè)x₁＜x₂，∵0＜f′（x）＜1∴f（x）在定義域上為增函數(shù)
由（2）知x-f（x） 在定義域上為增函數(shù)、∴x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂）
∴0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|
∵|x₂-x₁|≤|x₂-α|+|x₁-α|＜4
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．
分析：（I）假設(shè)f（x）=x有不同于α的實(shí)數(shù)根β，利用反證法，我們可以證明假設(shè)不成立，進(jìn)而得到方程f（x）=x存在唯一的實(shí)數(shù)根a；
（II）我們構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-f（x），我們可以利用導(dǎo)數(shù)法判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到當(dāng)x＞a時(shí)，總有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）不妨設(shè)x₁＜x₂，由已知中0＜f′（x）＜1，可以判斷出f（x）在定義域上為增函數(shù)，結(jié)合（II）中的結(jié)論，我們可得x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂），進(jìn)而得到當(dāng)|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2時(shí)，有|f（x₁）-f（x₂）|＜4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性及g（x）=x-f（x）的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．