Question

已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）圓的面積的最大值為，直線方程.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問(wèn)題.（1）由橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，建立方程組，求出、的值，從而得出橢圓方程；（2）是探索性問(wèn)題，研究是否存在過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問(wèn)題，求解分三個(gè)步驟，根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式，將用直線的斜率的倒數(shù)表示，再通過(guò)函數(shù)知識(shí)求面積的最大值；由此求出直線的方程；將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式，即可得到圓的半徑的最大值，進(jìn)而求出圓的面積的最大值.

試題解析：（1）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，解得，，

故所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，，令，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，，

因此若最大，則最大，

又，由題設(shè)知直線的斜率不為0，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組消去整理得，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，，

，

即，令，則，由此得，

令，即在上單調(diào)遞增，

，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，），

這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積的最大值為，

故直線的方程為，內(nèi)切圓的面積的最大值為.

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的內(nèi)切圓面積.