Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，-sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx-2$\sqrt{3}$cosx），x∈R，設f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）首先求出解析式，然后利用三角函數(shù)的公式化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求周期和值域．

解答 解：（1）由已知f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以（1）函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}=π$；
（2）因為x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}$]，所以函數(shù)sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]，函數(shù)f（x）的值域為：[-1，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算以及三角函數(shù)式的化簡，正弦函數(shù)的周期和值域；關鍵是正確化簡三角函數(shù)為最簡形式．