Question

已知f（x）=-x+xlnx+m，g（x）=-

3ex

3+4x2

，若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），則m的取值范圍為

（1-

3

4

e

，+∞）

．

Answer 1

分析：若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），則g（x）=-

3ex

3+4x2

的最小值小于f（x）=-x+xlnx+m的最小值，利用導(dǎo)數(shù)法分別求出兩個(gè)函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=-x+xlnx+m，g（x）=-

3ex

3+4x2

，
∵g′（x）=

-3ex(4x2-8x+3)

(3+4x2)2

=

-3ex(2x-1)(2x-3)

(3+4x2)2

∵x₁∈（0，

1

2

）時(shí)，g′（x）＜0，x₁∈（

1

2

，

3

2

）時(shí)，g′（x）＞0，
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，g（x）取最小值-

3

4

e

又∵f′（x）=lnx，
∵x₁∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x₁∈（1，

3

2

）時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值m-1
若任取x₁∈（0，

3

2

），都存在x₂∈（0，

3

2

），使得f（x₁）＞g（x₂），
則g（x）=-

3ex

3+4x2

的最小值小于f（x）=-x+xlnx+m的最小值
即-

3

4

e

＜m-1
即m＞1-

3

4

e

故m的取值范圍為：（1-

3

4

e

，+∞）
故答案為：（1-

3

4

e

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求最值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．