已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn) A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（ O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由離心率公式和直線與圓相切的條件，列出方程組求出a、b的值，代入橢圓方程即可；
（2）設(shè)A、B、P的坐標(biāo)，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求t的范圍．
解答： 解：（1）由題意知e=
c
a
=
2
2
，…1分
所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
．即a2=2b2．…2分
又∵橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切，
∴b=
2
1+1
=1，…3分，
則a2=2．…4分
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1． …6分
（2）由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，解得k2＜
1
2
…7分
且x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1•x2=
8k2-2
1+2k2
．
∵足
OA
+
OB
=t
OP
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
當(dāng)t=0時(shí)，不滿足|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
；
當(dāng)t≠0時(shí)，解得x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，
y=
y1+y2
t
=
k(x1+x2)-4k
t
=
-4k2
t(1+2k2)
，
∵點(diǎn)P在橢圓
x2
2
+y2=1上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，
化簡(jiǎn)得，16k2=t2（1+2k2）…8分
∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，
化簡(jiǎn)得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜
20
9
，
∴(1+k2)[
64k4
(1+2k2)2
-4×
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，解得k2＞
1
4
，即
1
4
＜k2＜
1
2
，…10分
∵16k2=t2（1+2k2），∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，…11分
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2，
∴實(shí)數(shù)取值范圍為(-2，-
2
6
3
)∪(
2
6
3
，2)…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及平面向量的知識(shí)，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力和分類討論思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（　�。�
A、y=-x2+1
B、y=|x|+1
C、y=log2x+1
D、y=x3

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如圖，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AA1=4，∠E=60°，點(diǎn)B為DE中點(diǎn)，AB⊥BC．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求二面角A-A1C-B的正切值．

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已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（　　）
A、{2，3}
B、{1，4，5}
C、{2，3，4}
D、{1，2，3，4，5}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè){an}為公比q＞1的等比數(shù)列，若a2012和a2013是方程4x2-8x+3=0的兩個(gè)根，則a2013+2a2014+a2015=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平行四邊形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，若
AD
•
BE
=1，則AB的長(zhǎng)為（　�。�
A、
6
B、4
C、5
D、6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O1為上底面A1C1的中心，若
AO1
=
AA1
+x
AB
+y
AD
，則x，y的值是（　�。�
A、x=
1
2
，y=1
B、x=1，y=
1
2
C、x=
1
2
，y=
1
2
D、x=1，y=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

想要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=cos（
π
3
-2x）（　�。┒玫剑�
A、向右平移
π
6
個(gè)單位
B、向右平移
π
3
個(gè)單位
C、向左平移
π
6
個(gè)單位
D、向左平
π
3
個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足
y≥|x|
y≤ax+1
的點(diǎn)P表示的區(qū)域?yàn)槿切�，則實(shí)數(shù)a的范圍是．
A、（-1，1）
B、（-∞，-1）
C、（1，+∞）
D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

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