(2012•河南模擬)如圖,焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A和B,且
AB
n
=(
2
,-1)
共線.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,由A(a,0)、B(0,b),知
AB
=(-a,b)
,由
AB
n
=(
2
,-1)
共線,知a=
2
b
,由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),把直線方程y=kx+m代入橢圓方程
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,故x1+x2=-
4km
2k2+1
,x1x2=
2m2-2
2k2+1
,△=16k2m2-4×(2k2+1)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)

由已知得A(a,0)、B(0,b),
AB
=(-a,b)
,
AB
n
=(
2
,-1)
共線,
a=
2
b
,又a2-b2=1(3分)
∴a2=2,b2=1,
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1
(5分)
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程
x2
2
+y2=1
,
消去y,得,(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
x1+x2=-
4km
2k2+1
,x1x2=
2m2-2
2k2+1
(7分)
△=16k2m2-4×(2k2+1)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0(*)                 (8分)
∵原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓內(nèi),
OP
OQ
<0
,即x1x2+y1y2<0(9分)
y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
m2-2k2
2k2+1

m2-2k2
2k2+1
+
2m2-2
2k2+1
<0
m2
2
3
k2+
2
3
,
依題意m2
2
3
且滿足(*)       (11分)
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-
6
3
,
6
3
)
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓參數(shù)方程的求法,考實(shí)數(shù)的取值范圍,考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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6
3
6
3

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