Question

5．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DA=DC=4，DD₁=3．
（1）求BD₁與平面ABCD所成的角的余弦；
（2）求異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD₁，BD，由DD₁⊥平面ABCD，得到∠DBD₁即BD₁與平面ABCD所成的角，分別利用勾股定理求出BD與BD₁的長，即可求出BD₁與平面ABCD所成的角的余弦；
（2）連接A₁D，由A₁D∥B₁C，得到∠BA₁D為異面直線A₁B與B₁C所成的角，在△A₁DB中，利用余弦定理求出cosBA₁D的值即可．

解答 解：（1）連接BD₁，BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴∠DBD₁即BD₁與平面ABCD所成的角，
∵在Rt△ABD中，AD=AB=4，
∴根據(jù)勾股定理得：BD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵在Rt△BDD₁中，DD₁=3，
∴根據(jù)勾股定理得：BD₁=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
則cos∠DBD₁=$\frac{D{D}_{1}}{BD}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{41}}$=$\frac{4\sqrt{82}}{41}$；
（2）連接A₁D，
∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D為異面直線A₁B與B₁C所成的角，
在△A₁DB中，A₁B=A₁D=5，BD=4$\sqrt{2}$，
則cos∠BA₁D=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}{2{A}_{1}B•{A}_{1}D}$=$\frac{25+25-32}{50}$=$\frac{9}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，找出直線與平面所成的角、異面直線所成的角是解本題的關(guān)鍵．